Kuinka totuus ja valhe määritellään tietojenkäsittelytieteessä. Tietojenkäsittelytieteen yksinkertaisimmat loogiset operaatiot. Peli "Kuka on isompi?"
Palvelun tarkoitus. Online-laskin on suunniteltu totuustaulukon rakentaminen loogiselle lausekkeelle.Totuustaulukko – taulukko, joka sisältää kaikki mahdolliset syöttömuuttujien yhdistelmät ja niitä vastaavat lähtöarvot.
Totuustaulukko sisältää 2n riviä, joissa n on syötemuuttujien lukumäärä ja n+m ovat sarakkeita, joissa m ovat lähtömuuttujia.
Ohjeet. Kun syötät näppäimistöltä, käytä seuraavia merkintöjä: Esimerkiksi looginen lauseke abc+ab~c+a~bc on syötettävä seuraavasti: a*b*c+a*b=c+a=b*c
Käytä tätä palvelua syöttääksesi tiedot loogisen kaavion muodossa.
Säännöt loogisen funktion syöttämiseksi
- Käytä v-symbolin (disjunktio, OR) sijasta +-merkkiä.
- Ennen loogista funktiota ei tarvitse määrittää funktion nimeä. Esimerkiksi F(x,y)=(x|y)=(x^y) sijaan sinun on yksinkertaisesti syötettävä (x|y)=(x^y) .
- Muuttujien enimmäismäärä on 10.
Tietokonelogiikkapiirien suunnittelu ja analysointi suoritetaan käyttämällä erityistä matematiikan haaraa - logiikkaalgebraa. Logiikkaalgebrassa voidaan erottaa kolme pääasiallista loogista funktiota: "EI" (negaatio), "AND" (konjunktio), "OR" (disjunktio).
Minkä tahansa loogisen laitteen luomiseksi on tarpeen määrittää kunkin lähtömuuttujan riippuvuus olemassa olevista tulomuuttujista. Tätä riippuvuutta kutsutaan kytkentäfunktioksi tai loogiseksi algebrafunktioksi.
Loogista algebrafunktiota kutsutaan täysin määritellyksi, jos sen kaikki 2n arvoa on annettu, missä n on lähtömuuttujien lukumäärä.
Jos kaikkia arvoja ei ole määritetty, funktiota kutsutaan osittain määritetyksi.
Laitetta kutsutaan loogiseksi, jos sen tilaa kuvataan logiikkaalgebrafunktiolla.
Seuraavia menetelmiä käytetään esittämään loogista algebrafunktiota:
- sanallinen kuvaus on muoto, jota käytetään suunnittelun alkuvaiheessa ja jolla on tavanomainen esitys.
- loogisen algebrafunktion kuvaus totuustaulukon muodossa.
- loogisen algebrafunktion kuvaus algebrallisen lausekkeen muodossa: FAL:n kahta algebrallista muotoa käytetään:
A) DNF – disjunktiivinen normaalimuoto on loogisten alkeistulojen looginen summa. DNF saadaan totuustaulukosta käyttämällä seuraavaa algoritmia tai sääntöä:
1) taulukosta on valittu ne muuttujarivit, joille tulosfunktio =1.
2) jokaiselle muuttujariville kirjoitetaan looginen tulo; Lisäksi muuttujat =0 kirjoitetaan inversiolla.
3) tuloksena oleva tuote summataan loogisesti.
Fdnf= X 1 * X 2 * X 3 ∨ X 1 x 2 X 3 ∨ X 1 X 2 x 3 ∨ X 1 X 2 X 3
DNF:n sanotaan olevan täydellinen, jos kaikilla muuttujilla on sama arvo tai järjestys, ts. Jokaisen työn tulee sisältää kaikki muuttujat suorassa tai käänteisessä muodossa.
b) CNF – konjunktiivinen normaalimuoto on alkeellisten loogisten summien looginen tulos.
CNF voidaan saada totuustaulukosta seuraavalla algoritmilla:
1) valitse muuttujajoukot, joiden tulosfunktio =0
2) jokaiselle muuttujajoukolle kirjoitetaan looginen alkeissumma, ja muuttujat =1 kirjoitetaan inversiolla.
3) saadut määrät kerrotaan loogisesti.
Fsknf=(X 1 V X 2 V X 3) ∧ (X 1 V X 2 V X 3) ∧ (X 1 V X 2 V X 3) ∧ (X 1 V X 2 V X 3)
CNF:ää kutsutaan täydelliseksi, jos kaikilla muuttujilla on sama arvo.
Kuva 1 - Logiikkalaitekaavio
Kaikki logiikan algebran toiminnot on määritelty totuustaulukot arvot. Totuustaulukko määrittää toiminnon tuloksen for kaikki ovat mahdollisia x alkuperäisten lauseiden loogiset arvot. Käyttötoimintojen tulosta heijastavien vaihtoehtojen määrä riippuu loogisen lausekkeen lauseiden määrästä. Jos loogisen lausekkeen lauseiden määrä on N, niin totuustaulukko sisältää 2 N riviä, koska mahdollisia argumenttiarvoja on 2 N erilaista yhdistelmää.
Operaatio NOT - looginen negaatio (inversio)
Loogista toimintoa EI sovelleta yhteen argumenttiin, joka voi olla yksinkertainen tai monimutkainen looginen lauseke. Operaation tulos EI ole seuraava:- jos alkuperäinen lauseke on tosi, sen negatiivisen tuloksen tulos on epätosi;
- jos alkuperäinen lauseke on epätosi, niin sen negatiivisen tuloksen tulos on tosi.
ei A, Ā, ei A, ¬A, !A
Negaatiooperaation tulosta EI määritä seuraava totuustaulukko:
| A | ei A |
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
Negaatiooperaation tulos on tosi, kun alkuperäinen lause on epätosi ja päinvastoin.
TAI-operaatio - looginen summaus (disjunktio, liitto)
Looginen TAI-operaatio suorittaa kahden lauseen yhdistämisen, jotka voivat olla joko yksinkertainen tai monimutkainen looginen lauseke. Lausuntoja, jotka ovat loogisen operaation lähtökohtia, kutsutaan argumenteiksi. TAI-operaation tulos on lauseke, joka on tosi, jos ja vain jos vähintään yksi alkuperäisistä lausekkeista on tosi.Käytetyt nimitykset: A tai B, A V B, A tai B, A||B.
TAI-operaation tulos määräytyy seuraavan totuustaulukon avulla:
TAI-operaation tulos on tosi, kun A on tosi tai B on tosi tai sekä A että B ovat tosi, ja epätosi, kun argumentit A ja B ovat epätosi.
Operaatio AND - looginen kertolasku (konjunktio)
Looginen operaatio AND suorittaa kahden lauseen (argumentin) leikkaustoiminnon, joka voi olla joko yksinkertainen tai monimutkainen looginen lauseke. AND-operaation tulos on lauseke, joka on tosi, jos ja vain jos molemmat alkuperäiset lausekkeet ovat tosi.Käytetyt nimitykset: A ja B, A Λ B, A & B, A ja B.
JA-operaation tulos määräytyy seuraavan totuustaulukon avulla:
| A | B | A ja B |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
JA-operaation tulos on tosi, jos ja vain, jos lauseet A ja B ovat molemmat tosi ja epätosi kaikissa muissa tapauksissa.
Operaatio "JOS-SIIN" - looginen seuraus (implikaatio)
Tämä operaatio yhdistää kaksi yksinkertaista loogista lauseketta, joista ensimmäinen on ehto ja toinen tämän ehdon seuraus.Käytetyt nimitykset:
jos A, niin B; A tarkoittaa B:tä; jos A niin B; A → B.
Totuustaulukko:
| A | B | A → B |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Implikaatiooperaation tulos on epätosi vain, jos premissi A on tosi ja johtopäätös B (seuraus) on epätosi.
Operaatio "A jos ja vain jos B" (ekvivalenssi, vastaavuus)
Käytetty nimitys: A ↔ B, A ~ B.Totuustaulukko:
| A | B | A↔B |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Operaatio "Addition modulo 2" (XOR, yksinomainen tai tiukka disjunktio)
Käytetty merkintä: A XOR B, A ⊕ B.Totuustaulukko:
| A | B | A⊕B |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
Ekvivalenssioperaation tulos on tosi vain, jos A ja B ovat tosia tai epätosi samanaikaisesti.
Loogisten operaatioiden prioriteetti
- Toiminnot suluissa
- Inversio
- Konjunktio (&)
- Disjunktio (V), yksinomainen TAI (XOR), summa modulo 2
- Implisaatio (→)
- Vastaavuus (↔)
Täydellinen disjunktiivinen normaalimuoto
Kaavan täydellinen disjunktiivinen normaalimuoto(SDNF) on vastaava kaava, joka on alkeiskonjunktioiden disjunktio ja jolla on seuraavat ominaisuudet:- Jokainen kaavan looginen termi sisältää kaikki funktioon F(x 1,x 2,...x n) sisältyvät muuttujat.
- Kaikki kaavan loogiset termit ovat erilaisia.
- Yksikään looginen termi ei sisällä muuttujaa ja sen negaatiota.
- Mikään kaavan looginen termi ei sisällä samaa muuttujaa kahdesti.
Jokaiselle funktiolle SDNF ja SCNF määritellään yksilöllisesti permutaatioon asti.
Täydellinen konjunktiivinen normaalimuoto
Kaavan täydellinen konjunktiivinen normaalimuoto (SCNF) Tämä on sitä vastaava kaava, joka on alkeisdisjunktioiden konjunktio ja täyttää ominaisuudet:- Kaikki alkeisdisjunktiot sisältävät kaikki funktioon F(x 1 ,x 2 ,...x n) sisältyvät muuttujat.
- Kaikki alkeisdisjunktiot ovat erilaisia.
- Jokainen alkeisdisjunktio sisältää muuttujan kerran.
- Yksikään alkeisdisjunktio ei sisällä muuttujaa ja sen negaatiota.
Logiikkaa käytetään laajasti paitsi elämässä myös digitaalisen tekniikan, mukaan lukien tietokoneet, toteutuksessa. Digitaalitekniikka sisältää niin sanottuja loogisia elementtejä, jotka toteuttavat tiettyjä loogisia toimintoja.
Logiikka käyttää yksinkertaisia ja yhdistettyjä loogisia lauseita (kerrovia lausuntoja), jotka voivat olla totta ( 1 ) tai väärä ( 0 ).
Esimerkki yksinkertaisista lausunnoista:
- "Moskova on Venäjän pääkaupunki" (1)
- "Kaksi kertaa kaksi on kolme" (0)
- "Loistava!" (ei lausunto)
Useiden yksinkertaisten lauseiden yhdistämiseksi yhdeksi yhdisteeksi käytetään loogisia operaatioita. Loogisia perusoperaatioita on kolme: JA, TAI, EI.
Toiminnan järjestys:
- toiminnot suluissa, vertailutoiminnot (<, ≤, >, ≥, =, ≠)
Tarkastellaan jokaista kolmea operaatiota erikseen.
1. Toiminta EI muuttaa loogisen lausuman merkityksen päinvastaiseksi. Tätä toimintoa kutsutaan myös "inversioksi", "loogiseksi negaatioksi". Toimintamerkki: ¬
Totuustaulukko:
| A | EI A |
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
2. Operaatio I sillä yhdistelmäväite antaa totuuden vain, jos kaikki sen muodostavat yksinkertaiset väitteet ovat tosia. Tätä operaatiota voidaan kutsua myös "loogiseksi kertolaskuksi" tai "konjunktioksi". Toimintamerkki: , & , /\
Totuustaulukko:
| A | B | A JA B |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
3. Yhdistetyn lauseen OR-operaatio antaa totuuden, kun vähintään yksi syötetyistä yksinkertaisista lauseista on tosi. "Looginen lisäys", "disjunktio". Toimintamerkki: + , v
| A | B | A TAI B |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
Esimerkkejä ongelmanratkaisusta
Esimerkki 1.
Minkä seuraavista luvuista väite on epätosi:
EI(luku > 50) TAI(tasaluku)?
1) 9 2) 56 3) 123 4) 8
Ratkaisu. Suoritamme ensin vertailut suluissa, sitten NOT-operaation ja lopuksi TAI-operaation.
1) Korvaa lausekkeen numero 9:
EI (9 > 50) TAI(9 jopa)
EI(valehdella) TAI(väärä) = tosi TAI epätosi = totta
9 ei sovi meille, koska ehdon mukaan meidän on saatava valhe.
2) Korvaa lausekkeen luku 56:
EI (56 > 50) TAI(56 jopa)
EI(totta) TAI(tosi) = epätosi TAI totta = totta
56 ei myöskään toimi.
3) Korvaava 123:
EI (123 > 50) TAI(123 jopa)
EI(totta) TAI(false) = epätosi TAI false = false
Numero 123 ilmestyi.
Tämä ongelma voitaisiin ratkaista toisella tavalla:
EI(luku > 50) TAI(tasaluku)
Meidän on saatava väärä arvo. Näemme, että TAI-toiminto suoritetaan viimeisenä. TAI-toiminto antaa epätosi, kun sekä lausekkeet EI(luku) että (parillinen luku) ovat vääriä.
Koska ehdon (luku on parillinen) on oltava yhtä suuri kuin väärä arvo, hylkäämme välittömästi vaihtoehdot numeroilla 56, 8.
Joten voit ratkaista suoralla korvauksella, joka kestää kauan ja voi aiheuttaa virheen lauseketta laskettaessa; tai voit ratkaista ongelman nopeasti analysoimalla kaikki yksinkertaiset ehdot.
Vastaus: 3)
Esimerkki 2
Mille annetuista luvuista seuraava lause on tosi:
EI(Ensimmäinen numero on parillinen) JA EI(viimeinen numero on pariton)?
1) 6843 2) 4562 3) 3561 4) 1234
Ensin suoritamme vertailut suluissa, sitten EI-operaatioita suluissa ja lopuksi AND-operaation on arvottava tosi.
Koska operaatio EI käännä lauseen merkitystä, voimme kirjoittaa tämän monimutkaisen lausekkeen uudelleen seuraavasti:
(Ensimmäinen numero on pariton) JA(Viimeinen numero on parillinen) = tosi
Kuten tiedät, looginen kertolasku JA antaa totuuden vain, kun kaikki yksinkertaiset väitteet ovat tosia. Joten molempien ehtojen on oltava tosia:
(Ensimmäinen numero on pariton) = tosi (Viimeinen numero on parillinen) = tosi
Kuten näet, vain numero 1234 on sopiva
Vastaus: 4)
Esimerkki 3
Mille nimestä väite pitää paikkansa:
EI(Ensimmäinen kirjain on vokaali) JA(Kirjainten määrä > 5)?
1) Ivan 2) Nikolai 3) Semjon 4) Illarion
Kirjoitetaan lauseke uudelleen:
(Ensimmäinen kirjain ei ole vokaali)JA(Kirjainten määrä > 5) = tosi
(Ensimmäinen kirjain on konsonantti)JA(Kirjainten määrä > 5) = tosi
Logiikan algebra
Logiikan algebra
Logiikan algebra(Englanti) logiikan algebra) on yksi matemaattisen logiikan päähaaroista, jossa algebrallisia menetelmiä käytetään loogisissa muunnoksissa.
Logiikkaalgebran perustaja on englantilainen matemaatikko ja loogikko J. Boole (1815-1864), joka perusti loogisen opetuksensa algebran ja logiikan väliseen analogiaan. Hän kirjoitti muistiin minkä tahansa väitteen kehittämänsä kielen symboleilla ja sai "yhtälöitä", joiden totuus tai valhe voidaan todistaa tiettyjen loogisten lakien, kuten kommutatiivisuuden, distributiivisuuden, assosiatiivisuuden jne. perusteella.
Moderni logiikan algebra on matemaattisen logiikan haara ja tutkii väitteiden loogisia operaatioita niiden totuusarvon (tosi, epätosi) näkökulmasta. Lausumat voivat olla tosia, vääriä tai sisältävät totuutta ja valhetta eri suhteissa.
Looginen lausunto on mikä tahansa deklaratiivinen lause, jonka sisältö voidaan yksiselitteisesti todeta oikeaksi tai epätosi.
Esimerkiksi "3 kertaa 3 on 9", "Arkangeli on Vologdan pohjoispuolella" ovat totta, mutta "viisi on vähemmän kuin kolme", "Mars on tähti" ovat vääriä.
On selvää, että jokainen lause ei voi olla looginen lausunto, koska aina ei ole järkevää puhua sen valheellisuudesta tai totuudesta. Esimerkiksi väite ”Tietojenkäsittely on mielenkiintoinen aine” on epämääräinen ja vaatii lisätietoja, ja lause ”10-A Ivanov A.A.:n opiskelijalle tietojenkäsittelytiede on mielenkiintoinen aine” riippuen Ivanov A.A. , voi saada merkityksen "tosi" tai "valhe".
Paitsi kaksiarvoinen lausealgebra, jossa vain kaksi arvoa hyväksytään - "tosi" ja "epätosi", on olemassa moniarvoinen lausealgebra. Tällaisessa algebrassa käytetään arvojen "tosi" ja "epätosi" lisäksi sellaisia totuusarvoja kuin "todennäköinen", "mahdollinen", "mahdoton" jne.
Algebrassa logiikka eroaa yksinkertainen(perus) lausunnot, merkitty latinalaisilla kirjaimilla (A, B, C, D, ...) ja monimutkainen(komposiitti), joka koostuu useista yksinkertaisista loogisista konnektiiveistä, kuten esim "ei", "ja", "tai", "jos ja vain silloin", "jos... sitten". Tällä tavalla saatujen monimutkaisten väitteiden totuus tai valhe määräytyy yksinkertaisten lausuntojen merkityksen perusteella.
Merkitään se nimellä A lause "Logiikan algebraa sovelletaan menestyksekkäästi sähköpiirien teoriassa" ja läpi SISÄÄN- "Loogista algebraa käytetään relepiirien synteesissä."
Sitten yhdistelmälause "Logiikan algebraa sovelletaan menestyksekkäästi sähköpiirien teoriassa ja relepiirien synteesissä" voidaan kirjoittaa lyhyesti A ja B; tässä "ja" on looginen yhteys. On selvää, että alkeellisista lausunnoista lähtien A ja B ovat tosia, silloin yhdistelmäväite on tosi A ja B.
Jokaista loogista konnektiivia pidetään loogisten lauseiden toimintona, ja sillä on oma nimi ja nimitys.
Loogisia arvoja on vain kaksi: totta totta) Ja epätosi (FALSE). Tämä vastaa digitaalista esitystä − 1 Ja 0 . Kunkin loogisen operaation tulokset voidaan kirjoittaa taulukon muotoon. Tällaisia taulukoita kutsutaan totuustaulukoiksi.
Loogisen algebran perusoperaatiot
1. Looginen negaatio, inversio(lat. inversio- inversio) on looginen operaatio, jonka seurauksena annetusta käskystä saadaan uusi lause (esim. A) ei A), jota kutsutaan alkuperäisen lausunnon kieltäminen, ilmaistaan symbolisesti yläpalkilla ($A↖(-)$) tai sellaisilla merkinnöillä kuin ¬, "ei" ja lukee: "ei A", "A on väärä", "ei ole totta, että A", "A:n kieltäminen". Esimerkiksi "Mars on aurinkokunnan planeetta" (väite A); "Mars ei ole planeetta aurinkokunnassa" ($A↖(-)$); lause "10 on alkuluku" (lause B) on väärä; Lause "10 ei ole alkuluku" (väite B) on totta.
Yksittäiselle suurelle käytettyä operaatiota kutsutaan yksipuolinen. Tämän toiminnon arvotaulukko näyttää tältä
Lause $A↖(-)$ on epätosi, kun A on tosi, ja tosi, kun A on epätosi.
Geometrisesti negaatio voidaan esittää seuraavasti: jos A on tietty pistejoukko, niin $A↖(-)$ on joukon A komplementti, eli kaikki pisteet, jotka eivät kuulu joukkoon A.
2.Yhteys(lat. konjunktio- yhteys) - looginen kertolasku, operaatio, joka vaatii vähintään kaksi loogista määrää (operandi) ja yhdistää kaksi tai useampia lauseita konnektiivin avulla "Ja"(Esimerkiksi, "A ja B"), joka on symbolisesti merkitty merkillä ∧ (A ∧ B) ja lukee: "A ja B." Seuraavia merkkejä käytetään myös osoittamaan konjunktiota: A ∙ B; A & B, A ja B, ja joskus lauseiden välissä ei ole merkkiä: AB. Esimerkki loogisesta kertolaskusta: "Tämä kolmio on tasakylkinen ja suorakulmainen." Tietty väite voi olla tosi vain, jos molemmat ehdot täyttyvät, muuten väite on epätosi.
| A | B | A∧B |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
lausunto A ∧ SISÄÄN totta vain, jos molemmat väitteet ovat A Ja SISÄÄN ovat totta.
Geometrisesti konjunktio voidaan esittää seuraavasti: jos A, B A ∧ SISÄÄN on joukkojen leikkauspiste A Ja SISÄÄN.
3. Disjunktio(lat. disjunktio- jako) - looginen lisäys, operaatio, joka yhdistää kaksi tai useampia lauseita konnektiivin avulla "tai"(Esimerkiksi, "A tai B"), joka on symbolisesti merkitty merkillä ∨ (A∨ SISÄÄN) ja lukee: "A tai B". Seuraavia merkkejä käytetään myös osoittamaan eroa: A + B; A tai B; A | B. Esimerkki loogisesta lisäyksestä: "Luku x on jaollinen kolmella tai viidellä." Tämä väite on totta, jos molemmat ehdot tai ainakin yksi ehdoista täyttyvät.
Operaation totuustaulukolla on muoto
| A | B | A ∨ B |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
lausunto A∨ SISÄÄN on epätosi vain, kun molemmat väitteet ovat A Ja SISÄÄN väärä.
Geometrisesti looginen yhteenlasku voidaan esittää seuraavasti: jos A, B on sitten joitain pisteitä A ∨ SISÄÄN on joukkojen liitto A Ja SISÄÄN, eli hahmo, joka yhdistää sekä neliön että ympyrän.
4. Tiukasti erottava disjunktio, lisäys modulo kaksi- looginen operaatio, joka yhdistää kaksi lausetta konnektiivin avulla "tai", jota käytetään yksinomaisessa merkityksessä, joka on symbolisesti merkitty merkeillä ∨ ∨ tai ⊕ ( A ∨ ∨ B, A ⊕ SISÄÄN) ja lukee: "joko a tai B". Esimerkki lisäyksestä modulo kaksi on lause "Tämä kolmio on tylppä tai terävä". Väite on totta, jos jokin ehdoista täyttyy.
Operaation totuustaulukolla on muoto
| A | SISÄÄN | A⊕ B |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 |
Lause A ⊕ B on tosi vain, jos lauseilla A ja B on eri merkitys.
5. Seuraamus(lat. implisito- close connect) - looginen operaatio, joka yhdistää kaksi lausetta konnektiivin avulla "jos sitten" monimutkaiseksi lauseeksi, joka on symbolisesti osoitettu merkillä → ( A → SISÄÄN) ja lukee: "Jos A, niin B", "A tarkoittaa B", "A:sta seuraa B", "A tarkoittaa B". Merkkiä ⊃ (A ⊃ B) käytetään myös merkitsemään implikaatiota. Esimerkki implikaatiosta: "Jos tuloksena oleva nelikulmio on neliö, sen ympärille voidaan kuvata ympyrä." Tämä operaatio yhdistää kaksi yksinkertaista loogista lauseketta, joista ensimmäinen on ehto ja toinen on seuraus. Operaation tulos on epätosi vain silloin, kun olettamus on tosi ja seuraus on epätosi. Esimerkiksi "Jos 3 * 3 = 9 (A), niin aurinko on planeetta (B)," implikaatio A → B on väärä.
Operaation totuustaulukolla on muoto
| A | SISÄÄN | A→SISÄÄN |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
Implikaation toiminnassa on totta väite, että valheesta voi seurata mitä tahansa, mutta totuudesta voi seurata vain totuus.
6. Ekvivalenssi, kaksoisimplikaatio, ekvivalenssi(lat. aequalis- yhtäläinen ja valentis- jolla on voimaa) - looginen operaatio, joka sallii kahdesta lauseesta A Ja SISÄÄN saada uusi ilmaisu A ≡ B jossa lukee: "A vastaa B:tä". Myös seuraavia merkkejä käytetään osoittamaan vastaavuus: ⇔, ∼. Tämä operaatio voidaan ilmaista konnektiiveilla "silloin ja vain silloin", "tarpeellinen ja riittävä", "vastaava". Esimerkki vastaavuudesta on lause: "Kolmio on suorakulmainen silloin ja vain, jos yksi kulmista on 90 astetta."
Ekvivalenssioperaation totuustaulukolla on muoto
| A | SISÄÄN | A∼ SISÄÄN |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
Ekvivalenssioperaatio on vastakohta addimiselle modulo two ja sen arvo on tosi, jos ja vain jos muuttujien arvot ovat samat.
Yksinkertaisten väittämien merkitykset tuntemalla on mahdollista määrittää monimutkaisten väittämien merkitykset totuustaulukoiden perusteella. On tärkeää tietää, että minkä tahansa funktion esittämiseen logiikan algebrassa riittää kolme operaatiota: konjunktio, disjunktio ja negaatio.
Loogisten operaatioiden prioriteetti on seuraava: negaatio ( "Ei") on korkein prioriteetti, sitten konjunktio ( "Ja"), konjunktion jälkeen - disjunktio ( "tai").
Loogisten muuttujien ja loogisten operaatioiden avulla mikä tahansa looginen lause voidaan formalisoida, eli korvata loogisella kaavalla. Tässä tapauksessa yhdistetyn lausunnon muodostavat alkeisväittämät voivat olla merkitykseltään täysin riippumattomia, mutta tämä ei häiritse yhdistetyn väitteen totuuden tai virheellisyyden määrittämistä. Esimerkiksi lause "Jos viisi on suurempi kuin kaksi ( A), niin tiistai tulee aina maanantain jälkeen ( SISÄÄN)" - seuraamus A→ SISÄÄN, ja toiminnon tulos on tässä tapauksessa "tosi". Loogisissa operaatioissa väitteiden merkitystä ei oteta huomioon, vaan huomioidaan vain niiden totuus tai valhe.
Harkitse esimerkiksi yhdistetyn lauseen rakentamista lauseista A Ja SISÄÄN, joka olisi epätosi, jos ja vain jos molemmat väitteet ovat tosia. Totuustaulukosta summauksen modulo kaksi operaatiolle löydämme: 1 ⊕ 1 = 0. Ja lauseke voisi olla esimerkiksi seuraava: "Tämä pallo on täysin punainen tai täysin sininen." Siksi, jos lausunto A"Tämä pallo on täysin punainen" on totuus ja lausunto SISÄÄN"Tämä pallo on täysin sininen" on totta, silloin yhdistelmäväite on väärä, koska pallo ei voi olla samanaikaisesti sekä punainen että sininen.
Esimerkkejä ongelmanratkaisusta
Esimerkki 1. Määritä X:n määritetyille arvoille loogisen lauseen arvo ((X > 3) ∨ (X< 3)) → (X < 4) :
1) X = 1; 2) X = 12; 3) X = 3.
Ratkaisu. Operaatioiden järjestys on seuraava: ensin suoritetaan suluissa olevat vertailuoperaatiot, sitten disjunktio ja lopuksi implikaatiooperaatio. Disjunktiooperaatio ∨ on epätosi silloin ja vain jos molemmat operandit ovat epätosi. Implikaatioiden totuustaulukko näyttää tältä
| A | B | A → B |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
Täältä saamme:
1) jos X = 1:
((1 > 3) ∨ (1 < 3)) → (1 < 4) = ложь ∨ истина → истина = истина → истина = истина;
2) X = 12:
((12 > 3) ∨ (12 < 3) → (12 < 4) = истина ∨ ложь → ложь = истина → ложь = ложь;
3) X = 3:
((3 > 3) ∨ (3 < 3)) → (3<4) = ложь ∨ ложь → истина = ложь → истина = истина.
Esimerkki 2. Ilmoita X:n kokonaislukuarvot, joille lauseke ¬((X > 2) → (X > 5)) on tosi.
Ratkaisu. Negaatiooperaatiota sovelletaan koko lausekkeeseen ((X > 2) → (X > 5)), joten kun lauseke ¬((X > 2) → (X > 5)) on tosi, lauseke ((X) > 2) →(X > 5)) on epätosi. Siksi on tarpeen määrittää, mille X:n arvoille lauseke ((X > 2) → (X > 5)) on epätosi. Implikaatiooperaatio saa arvon "false" vain yhdessä tapauksessa: kun totuudesta seuraa valhe. Ja tämä pätee vain X = 3:lle; X = 4; X = 5.
Esimerkki 3. Minkä seuraavista sanoista lause ¬(ensimmäinen kirjain on vokaali ∧ kolmas kirjain vokaali) ⇔ 4 merkin pituinen merkkijono on väärä? 1) assa; 2) kuku; 3) maissi; 4) virhe; 5) voimamies.
Ratkaisu. Tarkastellaan kaikkia ehdotettuja sanoja peräkkäin:
1) sanalle assa saamme: ¬(1 ∧ 0) ⇔ 1, 1 ⇔ 1 - väite on tosi;
2) sanalle kuku saadaan: ¬ (0 ∧ 0) ⇔ 1, 1 ⇔ 1 - väite on tosi;
3) sanalle maissi saadaan: ¬ (0 ∧ 0) ⇔ 0, 1 ⇔ 0 - väite on epätosi;
4) sanalle virhe saadaan: ¬ (1 ∧ 1) ⇔ 0, 0 ⇔ 0 - väite on tosi;
5) sanalle voimamies saamme: ¬ (0 ∧ 0) ⇔ 1, 1 ⇔ 0 - väite on väärä.
Loogiset lausekkeet ja niiden muunnos
Alla looginen ilmaus tulee ymmärtää tietueeksi, joka voi ottaa loogisen arvon "tosi" tai "epätosi". Tämän määritelmän avulla loogisten lausekkeiden joukossa on erotettava:
- lausekkeet, jotka käyttävät vertailutoimintoja ("suurempi kuin", "pienempi kuin", "saa", "ei yhtä suuri" jne.) ja ottavat loogisia arvoja (esimerkiksi lauseke a > b, jossa a = 5 ja b = 7, on yhtä kuin arvo "false");
- loogisiin suureisiin ja loogisiin operaatioihin liittyvät suorat loogiset lausekkeet (esim. A ∨ B ∧ C, missä A = tosi, B = epätosi ja C = tosi).
Boolen lausekkeet voivat sisältää funktioita, algebrallisia operaatioita, vertailuoperaatioita ja loogisia operaatioita. Tässä tapauksessa toimien prioriteetti on seuraava:
- olemassa olevien toiminnallisten riippuvuuksien laskeminen;
- algebrallisten operaatioiden suorittaminen (ensin kerto- ja jakolasku, sitten vähennys ja yhteenlasku);
- vertailutoimintojen suorittaminen (satunnaisessa järjestyksessä);
- loogisten operaatioiden suorittaminen (ensin negaatiooperaatiot, sitten looginen kertolasku, looginen yhteenlasku ja lopuksi implikaatio- ja ekvivalenssioperaatiot).
Boolen lauseke voi käyttää sulkeita, jotka muuttavat toimintojen suoritusjärjestystä.
Esimerkki. Etsi ilmaisun merkitys:
$1 ≤ a ∨ A ∨ sin(π/a - π/b)< 1 ∧ ¬B ∧ ¬(b^a + a^b >a + b ∨ A ∧ B)$ kun a = 2, b = 3, A = tosi, B = epätosi.
Ratkaisu. Arvojen laskentajärjestys:
1) b a + a b > a + b, substituution jälkeen saadaan: 3 2 + 2 3 > 2 + 3, eli 17 > 2 + 3 = tosi;
2) A ∧ B = tosi ∧ epätosi = epätosi.
Siksi suluissa oleva lauseke on (b a + a b > a + b ∨ A ∧ B) = tosi ∨ epätosi = tosi;
3) 1≤ a = 1 ≤ 2 = tosi;
4) sin(π/a - π/b)< 1 = sin(π/2 - π/3) < 1 = истина.
Näiden laskelmien jälkeen saadaan lopulta: tosi ∨ A ∧ tosi ∧ ¬B ∧ ¬ tosi.
Nyt on suoritettava negaatio, sitten looginen kerto- ja yhteenlaskuoperaatiot:
5) ¬B = ¬epätosi = tosi; ¬true = epätosi;
6) A ∧ tosi ∧ tosi ∧ epätosi = tosi ∧ tosi ∧ tosi ∧ epätosi = epätosi;
7) tosi ∨ epätosi = tosi.
Siten loogisen lausekkeen tulos annetuille arvoille on "tosi".
Huomautus. Ottaen huomioon, että alkuperäinen lauseke on viime kädessä kahden termin summa ja yhden niistä arvo on 1 ≤ a = 1 ≤ 2 = tosi, voidaan ilman lisälaskelmia sanoa, että koko lausekkeen tulos on myös "tosi". ”.
Loogisten lausekkeiden identtiset muunnokset
Logiikkaalgebrassa noudatetaan peruslakeja, jotka mahdollistavat identtiset loogisten lausekkeiden muunnokset.
| Laki | Kohdalle ∨ | Vuodelle ∧ |
| Matkustaminen | A ∨ B = B ∨ A | A ∧ B = B ∧ A |
| Konjunktiivi | A ∨ (B ∨ C) = (B ∨ A) ∨ C | A ∧ (B ∧ C) = (A ∧ B) ∧ C |
| Jakelu | A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) | A ∨ B ∧ C = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) |
| De Morganin säännöt | $(A ∨ B)↖(-)$ = $A↖(-) ∧ B↖(-)$ | $(A ∧ B)↖(-)$ = $A↖(-) ∨ B↖(-)$ |
| Idempotenssi | A ∨ A = A | A ∧ A = A |
| Haltuunotot | A ∨ A ∧ B = A | A ∧ (A ∨ B) = A |
| Liimaus | (A ∧ B) ∨ (A↖(-) ∧ B) = B | (A ∨ B) ∧ (A↖(-) ∨ B) = B |
| Muuttujan toiminta sen inversiolla | $A ∨ A↖(-)$ = 1 | $A ∧ A↖(-)$ = 0 |
| Toiminta vakioilla | A ∨ 0 = A A ∨ 1 = 1 |
A ∧ 1 = A A ∧ 0 = 0 |
| Kaksinkertainen negatiivinen | $A↖(=)$ = A | |
Näiden väitteiden todisteet tehdään vastaavien tietueiden totuustaulukoiden konstruoinnin perusteella.
Loogisten kaavojen ekvivalenteilla muunnoksilla on sama tarkoitus kuin tavallisen algebran kaavojen muunnoksilla. Niiden tarkoituksena on yksinkertaistaa kaavoja tai pelkistää ne tiettyyn muotoon käyttämällä loogisen algebran peruslakeja. Alla kaavan yksinkertaistaminen, joka ei sisällä implikaatio- ja ekvivalenssioperaatioita, ymmärretään ekvivalenttimuunnokseksi, joka johtaa kaavaan, joka sisältää joko pienemmän määrän operaatioita tai pienemmän määrän muuttujia alkuperäiseen verrattuna.
Jotkut loogisten kaavojen muunnokset ovat samanlaisia kuin tavallisen algebran kaavojen muunnokset (yhteisen tekijän poistaminen suluista, kommutatiivisia ja kombinaatiolakeja jne.), kun taas toiset muunnokset perustuvat ominaisuuksiin, joita tavallisen algebran operaatioilla ei ole ( käyttämällä distributiivista lakia konjunktioon , absorptiolakeihin, liimaukseen, de Morganiin jne.).
Katsotaanpa joitain esimerkkejä tekniikoista ja menetelmistä, joita käytetään loogisten kaavojen yksinkertaistamiseen:
1) X1 ∧ X2 ∨ X1 ∧ X2 ∪ ¬X1 ∧ X2 = X1 ∧ X2 ∨ ¬X1 ∧ X2 = (X1 ∨ ¬X1) ∧ X2 = 1 ∧ X2 = X2 .
Muuttaaksesi täällä voit soveltaa idempotenssin lakia, distributiivista lakia; muuttujan operaatio inversiolla ja operaatio vakiolla.
2) X1 ∨ X1 ∧ X2 = X1 ∨ (1 ∨ 1 ∧ X2) = X1 ∨ (1 ∨ X2) = X1.
Tässä sovelletaan yksinkertaisuuden vuoksi absorptiolakia.
3) ¬(X1 ∧ X2) ∨ X2 = (¬X1 ∨ ¬X2) ∨ X2 = ¬X1 ∨ ¬X2 ∨ X2 = ¬X1 ∨ 1 = 1 .
Muunnettaessa sovelletaan de Morganin sääntöä, muuttujan operaatiota sen inversiolla ja operaatiota vakiolla
Esimerkkejä ongelmanratkaisusta
Esimerkki 1. Etsi looginen lauseke, joka vastaa lauseketta A ∧ ¬(¬B ∨ C) .
Ratkaisu. Sovellamme de Morganin sääntöä B:lle ja C:lle: ¬(¬B ∨ C) = B ∧ ¬C.
Saadaan alkuperäistä vastaava lauseke: A ∧ ¬(¬B ∨ C) = A ∧ B ∧ ¬C .
Vastaus: A ∧ B ∧ ¬C.
Esimerkki 2. Ilmoita niiden loogisten muuttujien A, B, C arvot, joille loogisen lausekkeen (A ∨ B) → (B ∨ ¬C ∨ B) arvo on epätosi.
Ratkaisu. Implikaatiooperaatio on epätosi vain, jos väärä väite seuraa oikeasta lähtökohdasta. Siksi tietylle lausekkeelle premissin A ∨ B on oltava "tosi" ja seurauksen, eli lausekkeen B ∨ ¬C ∨ B, on oltava "epätosi".
1) A ∨ B — disjunktion tulos on "tosi", jos ainakin yksi operandeista on "tosi";
2) B ∨ ¬C ∨ B - lauseke on epätosi, jos kaikkien termien arvo on "false", eli B on "false"; ¬C on "false", ja siksi muuttujan C arvo on "true";
3) jos otamme huomioon oletuksen ja otamme huomioon, että B on "epätosi", saadaan, että A:n arvo on "tosi".
Vastaus: A on totta, B on epätosi, C on totta.
Esimerkki 3. Mikä on suurin kokonaisluku X, jolle lause (35
Ratkaisu. Kirjoitetaan totuustaulukko implikaatiooperaatiolle:
| A | B | A → B |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
Lauseke X< (X - 3) ложно при любых положительных значениях X. Следовательно, для того чтобы результатом импликации была «истина», необходимо и достаточно, чтобы выражение 35 < X · X также было ложно. Максимальное целое значение X, для которого 35 < X · X ложно, равно 5.
Vastaus: X = 5.
Boolen lausekkeiden käyttäminen geometristen alueiden kuvaamiseen
Loogisia lausekkeita voidaan käyttää geometristen alueiden kuvaamiseen. Tässä tapauksessa tehtävä muotoillaan seuraavasti: kirjoita tietylle geometriselle alueelle looginen lauseke, joka saa arvon "true" arvoille x, y, jos ja vain jos jokin piste, jolla on koordinaatit (x; y), kuuluu geometriselle alueelle.
Tarkastellaan geometrisen alueen kuvausta loogisen lausekkeen avulla esimerkkien avulla.
Esimerkki 1. Geometrisen alueen kuva on määritetty. Kirjoita looginen lauseke, joka kuvaa siihen kuuluvan pistejoukon.
1) 
.
Ratkaisu. Tietty geometrinen alue voidaan esittää joukkona seuraavista alueista: ensimmäinen alue - D1 - puolitaso $(x)/(-1) +(y)/(1) ≤ 1$, toinen - D2 - ympyrä, jonka keskipiste on origossa $x ^2 + y^2 ≤ 1$. Niiden leikkauspiste D1 $∩$ D2 edustaa haluttua aluetta.
Tulos: looginen lauseke $(x)/(-1)+(y)/(1) ≤ 1 ∧ x^2 + y^2 ≤ 1$.
2) 
Tämä alue voidaan kirjoittaa seuraavasti: |x| ≤ 1 ∧ y ≤ 0 ∧ y ≥ -1.
Huomautus. Loogisen lausekkeen konstruoinnissa käytetään löysää epäyhtälöä, mikä tarkoittaa, että myös kuvioiden rajat kuuluvat varjostettuun alueeseen. Jos käytät tiukkaa epätasa-arvoa, rajoja ei oteta huomioon. Alueeseen kuulumattomat rajat näytetään yleensä katkoviivoina.
Voit ratkaista käänteisen ongelman, nimittäin: piirrä alue tietylle loogiselle lausekkeelle.
Esimerkki 2. Piirrä ja varjosta alue, jolle looginen ehto y ≥ x ∧ y + x ≥ 0 ∧ y täyttyy< 2 .
Ratkaisu. Haettu alue on kolmen puolitason leikkauskohta. Rakennamme suoria viivoja tasolle (x, y) y = x; y = -x; y = 2. Nämä ovat alueen rajat, ja viimeinen raja y = 2 ei kuulu alueelle, joten piirretään se katkoviivalla. Epäyhtälön y ≥ x tyydyttämiseksi pisteiden on oltava suoran y = x vasemmalla puolella ja epäyhtälö y = -x täyttyy pisteille, jotka ovat suoran y = -x oikealla puolella. Kunto y< 2 выполняется для точек, лежащих ниже прямой y = 2. В результате получим область, которая изображена на рис.:
Logiikkafunktioiden käyttäminen sähköpiirien kuvaamiseen
Logiikkafunktiot ovat erittäin hyödyllisiä sähköpiirien toiminnan kuvaamisessa. Joten kuvassa esitetylle piirille, jossa muuttujan X arvo on kytkimen tila (jos se on päällä, X:n arvo on "true", ja jos se on pois päältä, arvo on "false" ), tämä Y:n arvo on hehkulampun tila (jos se on päällä - arvo on "tosi", ja jos ei - "false"), looginen funktio kirjoitetaan seuraavasti: Y = X. Funktiota Y kutsutaan johtavuusfunktio.
Kuvassa esitetylle piirille looginen funktio Y on muotoa: Y = X1 ∪ X2, koska yksi sytytys riittää lampun syttymiseen. Kuvan piirissä, jotta hehkulamppu syttyy, molempien kytkimien on oltava päällä, joten johtavuusfunktio on muotoa: Y = X1 ∧ X2.
Monimutkaisemmalla piirillä johtavuusfunktion muoto on: Y = (X11 ∨ (X12 ∧ X13)) ∧ X2 ∧ (X31 ∨ X32).
Piiri voi sisältää myös oikosulkukoskettimia. Tässä tapauksessa avoin kosketin toimii kytkimenä, joka varmistaa, että lamppu syttyy, kun painike vapautetaan, eikä sitä paineta. Tällaisissa piireissä erokytkin kuvataan negaatiolla.
Näitä kahta järjestelmää kutsutaan vastaava, jos virta kulkee yhden läpi, se kulkee myös toisen läpi. Kahdesta vastaavasta piiristä yksinkertaisempi on se, jonka johtavuusfunktio sisältää pienemmän määrän elementtejä. Tehtävä löytää yksinkertaisimmat piirit vastaavien joukosta on erittäin tärkeä.
Logiikkaalgebran laitteiston käyttö logiikkapiirien suunnittelussa
Loogisen algebran matematiikka on erittäin hyödyllinen tietokonelaitteiston toiminnan kuvaamisessa. Tietokoneella käsiteltynä kaikki tiedot esitetään binäärimuodossa, eli se on koodattu tietyllä 0:n ja 1:n sekvenssillä. Nollaa ja 1:tä vastaavien binäärisignaalien käsittely suoritetaan tietokoneessa loogisten elementtien avulla. Logiikkaportit, jotka suorittavat loogisia perustoimintoja JA, TAI, EI, esitetään kuvassa.
Loogisten elementtien symbolit ovat vakioita ja niitä käytetään tietokoneen logiikkapiirejä laadittaessa. Näitä piirejä käyttämällä voit toteuttaa minkä tahansa loogisen toiminnon, joka kuvaa tietokoneen toimintaa.
Teknisesti tietokonelogiikkaelementti on toteutettu sähköpiirin muodossa, joka on kytkentä eri osista: diodeista, transistoreista, vastuksista, kondensaattoreista. Logiikkaelementin tulo, jota kutsutaan myös portiksi, vastaanottaa korkea- ja matalajännitetason sähköisiä signaaleja, ja yksi lähtösignaali lähetetään myös joko korkealla tai matalalla tasolla. Nämä tasot vastaavat yhtä binäärijärjestelmän tiloista: 1 - 0; TOTUUS ON VÄÄRIN. Jokaisella loogisella elementillä on oma symbolinsa, joka ilmaisee sen loogisen tehtävän, mutta ei osoita, millainen elektroninen piiri siihen on toteutettu. Tämä helpottaa monimutkaisten logiikkapiirien kirjoittamista ja ymmärtämistä. Logiikkapiirien toimintaa kuvataan totuustaulukoiden avulla. TAI-kaavion symboli on merkki "1" - disjunktion vanhentuneesta merkinnästä ">=1" (disjunktion arvo on 1, jos kahden operandin summa on suurempi tai yhtä suuri kuin 1). "&"-merkki AND-kaaviossa on lyhenne englannin sanasta ja.
Elektroniset logiikkapiirit on tehty loogisista elementeistä, jotka suorittavat monimutkaisempia loogisia toimintoja. EI-, OR- ja AND-elementeistä koostuva joukko loogisia elementtejä, joiden avulla voit rakentaa minkä tahansa monimutkaisen loogisen rakenteen, on ns. toiminnallisesti täydellinen.
Loogisten lausekkeiden totuustaulukoiden rakentaminen
Loogisen kaavan saamiseksi voit aina kirjoittaa totuustaulukko, eli esitä tietty looginen funktio taulukkomuodossa. Tässä tapauksessa taulukon tulee sisältää kaikki mahdolliset funktion argumenttien (kaavojen) ja vastaavien funktioarvojen yhdistelmät (kaavan tulokset tietyllä arvojoukolla).
Kätevä tallennusmuoto funktioarvoja etsittäessä on taulukko, joka sisältää muuttujien arvojen ja funktioarvojen lisäksi myös välilaskutoimitusten arvot. Tarkastellaan esimerkkiä totuustaulukon muodostamisesta kaavalle $(X1)↖(-) ∧ X2 ∨ (X1 ∨ X2)↖(-) ∨ X1$.
| X1 | X2 | $(X1)↖(-)$ | $(X1)↖(-)$ \ X2 | X1 ∧ X2 | $(X1 ∨ X2)↖(-)$ | $(X1)↖(-)$ ∧ X2 ∨ $(X1 ∨ X2)↖(-)$ | $(X1)↖(-)$ ∧ X2 ∨ $(X1 ∨ X2)↖(-)$ ∨ X1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
Jos funktio saa arvon 1 kaikille muuttujaarvojoukoille, se on yhtä totta; jos kaikille syötearvoille funktio saa arvon 0, se on identtisesti vääriä; jos lähtöarvojen joukko sisältää sekä 0 että 1, toiminto kutsutaan mahdollinen. Yllä oleva esimerkki on esimerkki identtisesti tosifunktiosta.
Kun tiedät loogisen funktion analyyttisen muodon, voit aina siirtyä loogisten funktioiden taulukkomuotoon. Tietyn totuustaulukon avulla voit ratkaista käänteisen ongelman, nimittäin: muodosta tietylle taulukolle analyyttinen kaava loogiselle funktiolle. Loogisen funktion analyyttinen riippuvuus voidaan muodostaa kahdella tavalla taulukon määrittämän funktion perusteella.
1. Disjunktiivinen normaalimuoto (DNF)- muuttujista ja niiden negatiivisista vääristä arvoista muodostettujen tulojen summa.
Algoritmi DNF:n muodostamiseksi on seuraava:
- totuustaulukossa funktiot valitsevat argumenttijoukot, joiden loogiset muodot ovat yhtä kuin 1 ("true");
- kaikki valitut loogiset joukot kirjoitetaan argumenttien loogisiksi tuloiksi yhdistäen ne peräkkäin toisiinsa käyttämällä loogisen summan operaatiota (disjunktio);
- argumenteille, jotka ovat epätosi, negaatiotoiminto lisätään muodostettuun tietueeseen.
Esimerkki. Muodosta funktio, joka määrittää, että ensimmäinen luku on yhtä suuri kuin toinen käyttämällä DNF-menetelmää. Funktion totuustaulukko näyttää tältä
| X1 | X2 | F(X1, X2) |
| 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
Ratkaisu. Valitsemme argumenttiarvot, joissa funktio on yhtä suuri kuin 1. Nämä ovat taulukon ensimmäinen ja neljäs rivi (emme ota otsikkoriviä huomioon numeroinnissa).
Kirjoitamme muistiin näiden joukkojen argumenttien loogiset tulot yhdistämällä ne loogiseen summaan: X1 ∧ X2 ∨ X1 ∧ X2.
Kirjoitamme muistiin valittujen joukkojen, joilla on väärä arvo, argumenttien negaatio (taulukon neljäs rivi; kaavan toinen joukko; ensimmäinen ja toinen elementti): X1 ∧ X2 ∨ $(X1)↖(- )$ ∧ $(X2)↖(-)$.
Vastaus: F(X1, X2) = X1 ∧ X2 ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ $(X2)↖(-)$.
2. Konjunktiivinen normaalimuoto (CNF)- muuttujista ja niiden negatiivisista todellisista arvoista muodostettujen summien tulo.
CNF:n rakentamisalgoritmi on seuraava:
- totuustaulukossa valitaan joukko argumentteja, joiden loogiset muodot ovat yhtä kuin 0 ("false");
- kaikki valitut loogiset joukot argumenttien loogisina summina kirjoitetaan peräkkäin yhdistäen ne yhteen loogisen tuotteen operaatiolla (konjunktio);
- argumenteille, jotka ovat tosi, negatiivinen operaatio syötetään muodostettuun tietueeseen.
Esimerkkejä ongelmanratkaisusta
Esimerkki 1. Tarkastellaan edellistä esimerkkiä, eli rakennetaan funktio, joka määrittää, että ensimmäinen luku on yhtä suuri kuin toinen, käyttämällä CNF-menetelmää. Tietylle funktiolle sen totuustaulukolla on muoto
| X1 | X2 | F(X1, X2) |
| 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
Ratkaisu. Valitsemme argumenttiarvot, joissa funktio on yhtä suuri kuin 0. Nämä ovat toinen ja kolmas rivi (emme ota otsikkoriviä huomioon numeroinnissa).
Kirjoitamme muistiin näiden joukkojen argumenttien loogiset summat yhdistämällä ne loogiseen tuloon: X1 ∨ X2 ∧ X1 ∨ X2.
Kirjoitamme muistiin valittujen joukkojen, joilla on tosi arvo, argumenttien negaatio (taulukon toinen rivi, kaavan ensimmäinen joukko, toinen elementti; kolmannelle riville ja tämä on kaavan toinen joukko , ensimmäinen alkio): X1 ∨ $(X2)↖(-)$ ∧ $( X1)↖(-)$ ∨ X2.
Siten on saatu tietue loogisesta funktiosta CNF:ssä.
Vastaus: X1 ∨ $(X2)↖(-)$ ∧ $(X1)↖(-)$ ∨ X2.
Näillä kahdella menetelmällä saadut funktioarvot ovat samanarvoisia. Tämän väitteen todistamiseksi käytämme logiikan sääntöjä: F(X1, X2) = X1 ∨ $(X2)↖(-)$ ∧ $(X1)↖(-)$ ∨ X2 = X1 ∧ $(X1)↖ (-)$ ∨ X1 ∧ X2 ∨ $(X2)↖(-)$ ∧ $(X1)↖(-)$ ∨ $(X2)↖(-)$ ∧ X2 = 0 ∨ X1 ∨ X2 ∨ $(X2) )↖(- )$ ∧ $(X1)↖(-)$ ∨ 0 = X1 ∧ X2 ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ $(X2)↖(-)$.
Esimerkki 2. Muodosta looginen funktio tietylle totuustaulukolle:
Vaadittu kaava: X1 ∧ X2 ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ X2 .
Se voidaan yksinkertaistaa: X1 ∧ X2 ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ X2 = X2 ∧ (X1 ∨ $(X1)↖(-)$) = X2 ∧ 1 = X2.
Esimerkki 3. Muodosta annetulle totuustaulukolle looginen funktio DNF-menetelmällä.
| X1 | X2 | X3 | F(X1, X2, X3) | ||
| 1 | 1 | 1 | 1 | X1 ∧ X2 ∧ X3 | |
| 1 | 0 | 1 | 0 | ||
| 0 | 1 | 1 | 1 | $(X1)↖(-)$ ∧ X2 ∧ X3 | |
| 0 | 0 | 1 | 0 | ||
| 1 | 1 | 0 | 1 | X1 ∧ X2 ∧ $(X3)↖(-)$ | |
| 1 | 0 | 0 | 1 | X1 ∧ $(X2)↖(-)$ ∧ $(X3)↖(-)$ | |
| 0 | 1 | 0 | 0 | ||
| 0 | 0 | 0 | 0 |
Vaadittu kaava: X1 ∧ X2 ∧ X ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ X2 ∧ X3 ∨ X1 ∧ X2 ∧ $(X3)↖(-)$ ∪ X1 ∧ $(X2)ↈ(-)$ $ (X3)↖(-)$.
Kaava on melko hankala ja sitä pitäisi yksinkertaistaa:
X1 ∧ X2 ∧ X3 ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ X2 ∧ X3 ∨ X1 ∧ X2 ∧ $(X3)↖(-)$ ∨ X1 ∧ $(X2)↖(-)$ ∧ $(X3) ↖(-)$ = X2 ∧ X3 ∧ (X1 ∨ $(X1)↖(-)$) ∨ X1 ∧ $(X3)↖(-)$ ∧ (X2 ∨ $(X2)↖(-)$) = X2 ∧ X3 ∨ X1 ∧ $(X3)↖(-)$.
Totuustaulukot loogisten ongelmien ratkaisemiseen
Totuustaulukoiden laatiminen on yksi tapa ratkaista loogisia ongelmia. Tätä ratkaisutapaa käytettäessä ongelman sisältämät ehdot tallennetaan käyttämällä erityisesti koottuja taulukoita.
Esimerkkejä ongelmanratkaisusta
Esimerkki 1. Luo totuustaulukko turvalaitteelle, joka käyttää kolmea anturia ja laukeaa, kun vain kaksi niistä on oikosulussa.
Ratkaisu. On selvää, että ratkaisun tuloksena on taulukko, jossa halutun funktion Y(X1, X2, X3) arvo on "true", jos kahdella muuttujalla on arvo "true".
| X1 | X2 | X3 | Y(X1, X2, X3) |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
Esimerkki 2. Tee päivälle tuntiohjelma ottaen huomioon, että tietojenkäsittelyoppitunti voi olla vain ensimmäinen tai toinen, matematiikan tunti - ensimmäinen tai kolmas ja fysiikan oppitunti - toinen tai kolmas. Onko mahdollista luoda aikataulu, joka täyttää kaikki vaatimukset? Kuinka monta aikatauluvaihtoehtoa on?
Ratkaisu. Ongelma voidaan ratkaista helposti, jos luot sopivan taulukon:
| 1. oppitunti | Oppitunti 2 | Oppitunti 3 | |
| Tietokone Tiede | 1 | 1 | 0 |
| Matematiikka | 1 | 0 | 1 |
| Fysiikka | 0 | 1 | 1 |
Taulukosta näkyy, että halutulle aikataululle on kaksi vaihtoehtoa:
- matematiikka, tietojenkäsittelytiede, fysiikka;
- tietojenkäsittelytiede, fysiikka, matematiikka.
Esimerkki 3. Urheiluleirille saapui kolme ystävää - Peter, Boris ja Aleksei. Jokainen heistä pitää kahdesta urheilulajista. Tiedetään, että tällaisia urheilulajeja on kuusi: jalkapallo, jääkiekko, hiihto, uinti, tennis, sulkapallo. Tiedetään myös, että:
- Boris on vanhin;
- jalkapalloilija, joka on nuorempi kuin jääkiekkoilija;
- pelaa jalkapalloa ja jääkiekkoa ja Peter asuu samassa talossa;
- kun hiihtäjän ja tennispelaajan välille syntyy riita, Boris sovittaa heidät;
- Peter ei osaa pelata tennistä tai sulkapalloa.
Mistä urheilulajeista jokainen poika pitää?
Ratkaisu. Tehdään taulukko ja kuvastetaan siinä tehtävän ehtoja täyttämällä vastaavat solut numeroilla 0 ja 1 sen mukaan, onko vastaava väite epätosi vai tosi.
Koska urheilulajeja on kuusi, käy ilmi, että kaikki pojat ovat kiinnostuneita eri lajeista.
Ehdosta 4 seuraa, että Boris ei ole kiinnostunut hiihtämisestä tai tenniksestä, ja ehdoista 3 ja 5, että Peter ei osaa pelata jalkapalloa, jääkiekkoa, tennistä ja sulkapalloa. Näin ollen Peterin suosikkilajeja ovat hiihto ja uinti. Laitetaan tämä taulukkoon ja täytä "Hiihto"- ja "Uinti"-sarakkeiden loput solut nollilla.
Taulukko osoittaa, että vain Aleksei voi pelata tennistä.
Ehdoista 1 ja 2 seuraa, että Boris ei ole jalkapalloilija. Siten Aleksei pelaa jalkapalloa. Jatketaan taulukon täyttämistä. Syötetään nollia rivin ”Aleksei” tyhjiin soluihin.
Lopulta saamme tietää, että Boris on kiinnostunut jääkiekosta ja sulkapallosta. Finaalipöytä näyttää tältä:
Vastaus: Peter pitää hiihtämisestä ja uimisesta, Boris pelaa jääkiekkoa ja sulkapalloa ja Aleksei jalkapalloa ja tennistä.
Tietojenkäsittelytieteen oppitunti
(koulutusjärjestelmä "School 2100", 2. luokka, IV neljännes, 1 oppitunti)
oppikirja - muistikirja "Informatiikka peleissä ja tehtävissä", kirjoittaja A.V. Gorjatšov
Oppitunnin aihe: Lausunto. Käsite "totuus" ja "valhe"
Oppitunnin tarkoitus: esittele käsitteet "totuus" ja "valhe"
Tehtävät:
Koulutus: esittele käsitteet "totuus" ja "valhe";
opettaa määrittämään yksinkertaisten lausuntojen totuus;
Kehittävä: analysointi- ja syntetisointikyvyn kehittäminen;
Kasvatus: positiivisten persoonallisuuden ominaisuuksien vaaliminen kasvatusprosessissa, keskustelutaidon kehittäminen tunnilla keskusteltaessa asioista.
Laitteet:
kirjoja (saduja), piirtoheitin, tietokone (esitys), kortteja kirjaimilla "I", "L", pallo.
Tuntien aikana
Ajan järjestäminen(itsemäärääminen toimintaan)
Tavoite: osallistuminen koulutustoimintaan henkilökohtaisesti merkittävällä tasolla
Mysteeri:
Ei puu, vaan lehdet,
Ei paita, mutta ommeltu,
Ei kasvi, mutta lehtineen,
Ei mies, mutta mielellä (kirja)
Kun pienet ihmiset tulevat tähän suureen maailmaan, sadut auttavat esittelemään ja tuntemaan maailmaa.
Muista sananlasku
(Odoskooppi) "Satu - ....oppitunti"
Etsi sana, jossa on eri määrä kirjaimia ja ääniä.
(Satu on valhe, mutta siinä on vihje - oppitunti hyville kavereille (sanassa "valhe" on 4 kirjainta ja 3 ääntä))
Yksilölliset tehtävät(työskentely selittävän sanakirjan kanssa) – etsi sanan vale merkitys ja valitse antonyymi (sen vastakohta)
(totuus on totuus ja valhe on epätotuutta)
Kun opiskelijat työskentelevät selittävän sanakirjan parissa, leikitään kanssasi.
Peli "Sano päinvastoin"
Kuuma (kylmä), suora (kiero), hyvä (huono), hidas (nopea), korkea (matala), hyvä (paha), enemmän (vähemmän), tumma (vaalea), lähellä (avoin), vasen (oikea), kylmä (lämmin), katkera (makea), totuus (epätotuus, valhe, petos..)
Tietojen päivittäminen
Tavoite: valmius henkiseen toimintaan ja uuden tiedon tarve (käsitteet)
Johdatus uuteen aiheeseen
Tänään tarkastelemme kahta käsitettä yksityiskohtaisesti,
"Totuus ja valhe" - me kutsumme niitä elämässä.
Mutta tietojenkäsittelytieteessä se on "tosi" ja "epätosi".
Miten määrittelet "totuuden"? (Totuus)
Miten ymmärrät sanan "valhe"? (ei totta).
Onko aina helppo määrittää, milloin väite on totta? (ei, joskus ei ole tarpeeksi tietoa ja kokemusta)
Mitä toimia ihmisen tulee tehdä saadakseen totuuden? (tarkkailla, vertailla, pohtia, laskea, mitata, tehdä tutkimusta).
Pääosa. Työskentele oppitunnin aiheen parissa
Työskentely oppikirjasta
Tavoite: kehittää kykyä itsenäisesti suorittaa tehtäviä, omaksua uutta materiaalia, kommentoida ja ääntää ulkoisessa puheessa
Ilmaisen joitain ajatuksia, jos uskot minua, ota sitten "I"-kortti, jos ei, niin "L"-kortti.
Kaikki krokotiilit lentävät.
Tietokone on ihmisen avustaja laskettaessa.
10 on jaollinen 3:lla ilman jäännöstä.
Puhelin toimii viestintävälineenä.
Nimeä väitteet, joihin uskoit. Miksi? (Koska se on totta, se on totta)
Tällaisia väitteitä kutsutaan todeksi, toisin sanoen totuudenmukaisiksi, todellisuutta vastaaviksi.
2. Kuuntele useita opiskelijoiden mielipiteitä ja päätä, kuvasivatko ne totuutta vai eivät? (oppilaiden valmistamat esitysdiat)
Kala elää joessa. Onko se totta? (Joo)
Kurkut kasvavat puussa. Onko se totta? Ei.
Päärynät kasvavat omenapuussa. Onko se totta? Ei.
Kissa näkee paremmin yöllä. Onko se totta? Joo.
Joten mitkä ovat tuomiot? (Totuus ja totuudenvastainen, eli tosi - oikein ja taru - väärin).
Kuinka voit kutsua väitteitä, joita pidit virheellisinä?
Tällaiset väitteet ovat vääriä.
Muistaa!
Totuus on mitä vastaa todellisuutta
Valhe on mitä todellisuutta ei sovi yhteen
Ensisijainen konsolidointi. Työskentely muistikirjassa
Tehtävä 1. Mitä kuvassa näkyy? (taulukko) Luetaan nyt allekirjoitus (taulukko). Eli allekirjoitus... (tosi. Oikein, totta)
Mitä seuraavassa kuvassa näkyy? (ananas) Mitä on allekirjoitettu? (vesimeloni). Eli allekirjoitus….. (väärä, väärä, väärä)
Avain: a) totuus; b) valehdella; c) valehdella; d) totuus.
Tehtävä 2. (työskentely pareittain) Opiskelijoiden tulee korvata väärät allekirjoitukset oikeilla allekirjoituksilla
Avain: kattila; c) suorakaiteen muotoinen kirjekuori; d) valkohanhi; e) tabby kissa.
Itsenäinen työ.
Tehtävä 3. Opiskelijoiden tulee keksiä ja piirtää seuraavat kuvat, jotta niiden alla olevat kuvatekstit osoittautuvat oikeiksi:
1) Voit piirtää minkä tahansa kokoisen ja värisen pallon.
2) Sinun on piirrettävä minkä tahansa muotoinen ja kokoinen vihreä lehti.
3) Sinun on piirrettävä minkä tahansa värinen ja kokoinen kolmion muotoinen lippu.
4) Sinun on piirrettävä mikä tahansa syötävä esine.
Oppilaat kuuntelevat toistensa vastauksia ja ilmaisevat mielipiteensä.
Liikuntaminuutti (lepominuutit)
Peli "Tee päinvastoin"
– Nousin ylös (istui alas)
– Istu alas (nouse ylös)
– Avaa silmäsi (sulje silmäsi)
– Käänny oikealle (vasemmalle)
– Käänny vasemmalle (oikealle)
HARJOITUSMINUTTI SILMILLE
Pallopeli "Anna minulle oikea nimi"
Opettaja heittää pallon kysymyksellä, opiskelijan on annettava oikea vastaus: - Kuka nukkuu kennelissä? -Kuka möhlää?
Tietojärjestelmään sisällyttäminen ja toisto
Tavoite: oppituntien tiedon sisällyttäminen tietojärjestelmään, opitun materiaalin lujittaminen
Työskentely luokan kanssa
Tehtävä 4. Oppilaiden tulee alleviivata kuvien alla oikeat kuvatekstit. Opettaja huomauttaa, että voit valita useita oikeita nimiä.
Avain: a) vaatekaappi, huonekalut, vaatteiden säilytykseen tarkoitettu puinen esine;
b) kello, kädessä pidettävä, näyttää aikaa, mekaaninen esine.
Tehtävä 5. Tehtävä on päinvastainen kuin edellinen, valitse kohteet, joiden allekirjoitus on tosi
Avain: kuppi; b) aluke, matematiikan oppikirja; c) lippu, muistikirja.
Työ ryhmissä. Z Tehtävät 6, 7. –
Opiskelijoiden tulee korjata piirustukset niin, että kuvat ovat totta.a) maalaa auto vihreäksi; b) yliviivaa päärynä; c) piirrä yksi kuppi loppuun.
Opiskelijoiden tulee selvittää kuvaa koskevien väittämien totuus. Jos opiskelijoiden on vaikea määrittää oikein väittämien totuutta, opettaja voi tarjota heille tämän tekniikan - lisää kysymys väitteen eteen: "Onko totta, että...?" Vastaus: "Kyllä, totta" sanoo, että väite on totta. Vastaus: "Ei, ei totta" tarkoittaa, että väite on väärä.
Itsetestauksessa voit ottaa huomioon kunkin sanan merkityksen.
Avain : a) Ja; b) L; ja; d) L; e) L; e) minä.
Peli "Tee ehdotus".
Opiskelijat keksivät useita oikeita väitteitä ja useita vääriä väitteitä.
Kotitehtävät
Muistikirjassa - ryhmälle I nro 8, ryhmälle II nro 12
Valinnainen – Kirjoita satu
Oppitunnin yhteenveto. Heijastus
Mitä uutta opit tunnilla tänään? (Että tuomiot ovat oikeita ja vääriä).
Mitä voit sanoa oikeista väitteistä, mitä ne ovat? (oikea). Entä ne väärät? (väärä).
Mitä kirjainta käytämme todellisten tuomioiden osoittamiseen? Entä ne väärät?
- Minkä arvosanan annat itsellesi tunnilta? Miksi?
Kuinka paljon annat minulle? Miksi?
Heijastus
Jokaisella oppilaalla on kortit pöydällä (vihreä, keltainen, punainen). Kun poistut luokasta, sinun on jätettävä yksi heistä opettajan pöydälle:
Vihreä - oppitunti oli minulle hyödyllinen, tein kovasti töitä oppitunnilla, sain ansaitun arvosanan, ymmärsin kaiken, mitä oppitunnilla sanottiin.
Keltainen- Oppitunti oli mielenkiintoinen, osallistuin siihen, tunti oli minulle jossain määrin hyödyllinen.
Punainen- Sain vähän hyötyä oppitunnista, en ymmärtänyt mitä oli tekeillä
Tänään puhumme aiheesta nimeltä tietojenkäsittelytiede. Totuustaulukko, funktiotyypit, niiden suoritusjärjestys - nämä ovat pääkysymyksemme, joihin yritämme löytää vastauksia artikkelista.
Yleensä tämä kurssi opetetaan lukiossa, mutta suuri opiskelijamäärä aiheuttaa väärinkäsityksen joistakin ominaisuuksista. Ja jos aiot omistaa elämäsi tälle, et yksinkertaisesti voi tehdä ilman tietojenkäsittelytieteen yhtenäisen valtionkokeen läpäisemistä. Totuustaulukko, monimutkaisten lausekkeiden muunnos, loogisten ongelmien ratkaiseminen - kaikki tämä löytyy lipusta. Nyt tarkastelemme tätä aihetta yksityiskohtaisemmin ja autamme sinua saamaan enemmän pisteitä yhtenäisestä valtionkokeesta.
Logiikan aihe
Millainen aine on tietojenkäsittelytiede? Totuustaulukko - miten se rakennetaan? Miksi logiikan tiedettä tarvitaan? Vastaamme nyt kaikkiin näihin kysymyksiin.
Tietojenkäsittelytiede on varsin kiehtova aihe. Se ei voi aiheuttaa vaikeuksia nyky-yhteiskunnalle, koska kaikki, mikä meitä ympäröi, liittyy tavalla tai toisella tietokoneeseen.
Logiikkatieteen perusteita opettavat lukion opettajat tietojenkäsittelyn tunneilla. Totuustaulukot, funktiot, lausekkeiden yksinkertaistaminen - tietotekniikan opettajien tulisi selittää tämä kaikki. Tämä tiede on yksinkertaisesti välttämätön elämässämme. Katso tarkemmin, kaikki noudattaa joitain lakeja. Heitit pallon, se lensi ylös, mutta sen jälkeen se putosi takaisin maahan, tämä tapahtui fysiikan lakien ja painovoiman vuoksi. Äiti keittää keittoa ja lisää suolaa. Miksi emme saa jyviä syödessämme sitä? Se on yksinkertaista, suola liukenee veteen kemian lakeja noudattaen.
Kiinnitä nyt huomiota siihen, miten puhut.
- "Jos vien kissani eläinlääkärille, se rokotetaan."
- "Tänään oli erittäin vaikea päivä, koska testi oli tulossa."
- "En halua mennä yliopistoon, koska tänään on kollokviumi" ja niin edelleen.
Kaiken sanomasi on noudatettava logiikan lakeja. Tämä koskee sekä liike- että ystävällisiä keskusteluja. Tästä syystä on välttämätöntä ymmärtää logiikan lait, jotta ei toimisi satunnaisesti, vaan luottaisi tapahtumien lopputulokseen.
Toiminnot
Jotta voit luoda totuustaulukon sinulle ehdotetulle ongelmalle, sinun on tiedettävä loogiset funktiot. Mikä se on? Boolen funktiossa on joitain muuttujia, jotka ovat lauseita (tosi tai epätosi), ja itse funktion arvon pitäisi antaa meille vastaus kysymykseen: "Onko lauseke tosi vai epätosi?"
Kaikilla ilmaisuilla on seuraavat merkitykset:
- Totta vai tarua.
- Minä tai L.
- 1 tai 0.
- Plussaa tai miinusta.
Valitse tässä sinulle sopivampi menetelmä. Totuustaulukon rakentamiseksi meidän on lueteltava kaikki muuttujien yhdistelmät. Niiden lukumäärä lasketaan kaavalla: 2 n:n potenssiin. Laskennan tulos on mahdollisten yhdistelmien lukumäärä tässä kaavassa muuttuja n ilmaisee muuttujien määrää ehdossa. Jos lausekkeessa on useita muuttujia, voit käyttää laskinta tai tehdä itsellesi pienen taulukon nostamalla kaksi potenssiin.
Yhteensä logiikassa on seitsemän lausekkeita yhdistävää funktiota tai yhteyttä:
- Kertominen (konjunktio).
- Lisäys (disjunktio).
- Seuraus (implikaatio).
- Vastaavuus.
- Inversio.
- Schaefferin aivohalvaus.
- Piercen nuoli.
Listan ensimmäistä operaatiota kutsutaan "loogiseksi kertolaskuksi". Se voidaan merkitä graafisesti käänteisenä valintamerkkinä & tai *. Toinen toiminto luettelossamme on looginen lisääminen, jota graafisesti osoittaa valintamerkki +. Implikaatiota kutsutaan loogiseksi seuraukseksi ja se osoitetaan nuolella, joka osoittaa ehdosta seuraukseen. Vastaavuus osoitetaan kaksisuuntaisella nuolella, funktiolla on todellinen arvo vain niissä tapauksissa, joissa molemmat arvot ovat joko "1" tai "0". Inversiota kutsutaan loogiseksi negaatioksi. Schaeffer-iskua kutsutaan funktioksi, joka kieltää konjunktion, ja Peircen nuolta kutsutaan funktioksi, joka kieltää disjunktion.
Binaariperusfunktiot
Looginen totuustaulukko auttaa sinua löytämään vastauksen johonkin ongelmaan, mutta tätä varten sinun on opittava ulkoa binäärifunktioiden taulukot. Ne esitetään tässä osiossa.
Konjunktio (kertolasku). Jos niitä on kaksi, niin tuloksena saamme totuuden, kaikissa muissa tapauksissa saamme valheen.
Tulos on epätosi loogisen lisäyksen aikana vain kahden väärän syöttötiedon tapauksessa.
Loogisella seurauksella on väärä tulos vain silloin, kun ehto on tosi ja seuraus on epätosi. Tässä voit antaa esimerkin elämästä: "Halusin ostaa sokeria, mutta kauppa oli kiinni", siksi sokeria ei koskaan ostettu.
Vastaavuus on totta vain, kun syötetietojen arvot ovat samat. Eli pareille: "0;0" tai "1;1".
Inversion tapauksessa kaikki on alkeellista: jos syöte sisältää tosi lausekkeen, se muunnetaan epätosi ja päinvastoin. Kuvassa näkyy, kuinka se ilmaistaan graafisesti.
Schifferin aivohalvaus tuottaa väärän tuloksen vain, jos on kaksi todellista lauseketta.
Peircen nuolen tapauksessa funktio on tosi vain, jos syötteenä on vain vääriä lausekkeita.
Missä järjestyksessä loogiset toiminnot suoritetaan
Huomaa, että totuustaulukoiden rakentaminen ja lausekkeiden yksinkertaistaminen on mahdollista vain oikean toimintojärjestyksen kanssa. Muista, missä järjestyksessä ne on suoritettava, tämä on erittäin tärkeää oikean tuloksen saamiseksi.
- looginen kieltäminen;
- kertolasku;
- lisäys;
- seuraus;
- vastaavuus;
- kertolaskun negaatio (Schaeffer-isku);
- lisäyksen negaatio (Piercen nuoli).
Esimerkki nro 1
Nyt ehdotamme, että harkitaan esimerkkiä totuustaulukon rakentamisesta 4 muuttujalle. On selvitettävä, missä tapauksissa yhtälön F=0: ei A+B+C*D
Vastaus tähän tehtävään on luettelo seuraavista yhdistelmistä: "1;0;0;0", "1;0;0;1" ja "1;0;1;0". Kuten näet, totuustaulukon luominen on melko yksinkertaista. Haluan jälleen kerran kiinnittää huomionne toimintojen järjestykseen. Tässä nimenomaisessa tapauksessa asia oli seuraava:
- Ensimmäisen yksinkertaisen lausekkeen käänteinen.
- Kolmannen ja neljännen lausekkeen konjunktio.
- Toisen lausekkeen disjunktio aikaisempien laskelmien tuloksiin.
Esimerkki nro 2
Nyt tarkastellaan toista tehtävää, joka vaatii totuustaulukon rakentamisen. Tietojenkäsittelytiedettä (esimerkit on otettu koulukurssilta) voidaan käyttää myös harjoitustyönä. Tarkastellaanpa lyhyesti yhtä niistä. Onko Vanya syyllinen pallon varastamiseen, jos tiedetään:
- Jos Vanya ei varastanut tai Petya varasti, Seryozha osallistui varkauteen.
- Jos Vanya ei ole syyllinen, Seryozha ei varastanut palloa.
Esitetään merkintä: I - Vanya varasti pallon; P - Petya varasti; S - Seryozha varasti.
Tämän ehdon perusteella voimme luoda yhtälön: F=((notI+P) implikaatio C)*(notI implikaatio notC). Tarvitsemme niitä vaihtoehtoja, joissa funktio saa todellisen arvon. Seuraavaksi sinun on luotava taulukko, koska tällä funktiolla on jopa 7 toimintoa, jätämme ne pois. Syötämme vain syöttötiedot ja tuloksen.
Huomaa, että tässä tehtävässä käytimme plus- ja miinusmerkkejä "0" ja "1" sijasta. Tämä on myös hyväksyttävää. Olemme kiinnostuneita yhdistelmistä, joissa F=+. Analysoituamme ne, voimme tehdä seuraavan johtopäätöksen: Vanya osallistui pallon varastamiseen, koska kaikissa tapauksissa, joissa F saa arvon +, JA on positiivinen arvo.
Esimerkki nro 3
Nyt suosittelemme, että etsit yhdistelmien lukumäärän, kun F=1. Yhtälö on seuraava: F=notA+B*A+notB. Luodaan totuustaulukko:
Vastaus: 4 yhdistelmää.
